Giải phương trình

Để giải phương trình:

\[
\frac{x-3}{x-2} = \frac{3 \frac{1}{5}}{x-4}
\]

Trước hết, chuyển đại số về dạng đẹp hơn:

Biểu thức \(3 \frac{1}{5}\) là \(3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}\).

Vậy, phương trình trở thành:

\[
\frac{x-3}{x-2} = \frac{\frac{16}{5}}{x-4}
\]

Bây giờ, nhân chéo để giải phương trình:

\[
(x - 3)(x - 4) = \frac{16}{5}(x - 2)
\]

Mở rộng cả hai vế:

Bên trái:

\[
x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12
\]

Bên phải:

\[
\frac{16}{5}(x - 2) = \frac{16}{5}x - \frac{32}{5}
\]

Bây giờ đặt cả hai vế về một bên:

\[
x^2 - 7x + 12 - \left(\frac{16}{5}x - \frac{32}{5}\right) = 0
\]

Đưa về cùng mẫu thức:

\[
5x^2 - 35x + 60 - 16x + 32 = 0
\]

Kết hợp lại:

\[
5x^2 - 51x + 92 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây \(a = 5\), \(b = -51\), \(c = 92\):

Tính biệt thức:

\[
b^2 - 4ac = (-51)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 92 = 2601 - 1840 = 761
\]

Vậy nghiệm sẽ là:

\[
x = \frac{51 \pm \sqrt{761}}{10}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = \frac{51 + \sqrt{761}}{10}, \quad x_2 = \frac{51 - \sqrt{761}}{10}
\]