Để giải phương trình \( x^2 + x - y^2 = 0 \) trong các số nguyên, ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
y^2 = x^2 + x
\]

Từ đó ta có thể điều chỉnh và kiểm tra các giá trị của \( x \):

1. **Xét \( x \) là số nguyên**:

- Khi \( x = 0 \):
\[
y^2 = 0^2 + 0 = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Giải: \( (0, 0) \)

- Khi \( x = 1 \):
\[
y^2 = 1^2 + 1 = 2 \Rightarrow y = \pm 1 \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

- Khi \( x = 2 \):
\[
y^2 = 2^2 + 2 = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt{6} \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

- Khi \( x = -1 \):
\[
y^2 = (-1)^2 + (-1) = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Giải: \( (-1, 0) \)

- Khi \( x = -2 \):
\[
y^2 = (-2)^2 + (-2) = 2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{2} \text{ (không có nghiệm nguyên)}
\]

2. **Kiểm tra các nghiệm nhỏ hơn hoặc bằng -2 và lớn hơn 2** cũng không cho ra nghiệm mới.

Từ những giá trị trên, ta tìm được các nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (0, 0), (-1, 0)
\]

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \( (0, 0) \) và \( (-1, 0) \).