Để chứng minh rằng I là trung điểm của dây MN trong đường tròn (O) với đường kính AB vuông góc với dây MN tại I, ta có thể tiến hành như sau:

1. **Giả thiết**: Cho đường tròn (O) với đường kính AB. Gọi I là điểm vuông góc của đoạn thẳng AB với dây MN.

2. **Xét tam giác**: Xét hai tam giác ∆AMI và ∆BMI. Vì AB là đường kính, nên theo định lý Thales, góc AIB = 90°.

3. **Các cạnh tương ứng**: Ta có AM = MB (do I nằm trên MN, là điểm vuông góc). Do đó, ta có:
- AI = BI (cùng là bán kính của đường tròn).
- AM = MB.

4. **Áp dụng định lý cạnh đối**: Với hai tam giác ∆AMI và ∆BMI:
- Góc AIB = 90° (tam giác vuông).
- AI = BI (bán kính).

5. **Kết luận**: Từ hai tam giác này, hai tam giác này là bằng nhau (theo tiêu chí cạnh-hai-cạnh). Vậy nên AM = MB, suy ra I là trung điểm của dây MN.

Như vậy, đã chứng minh rằng I là trung điểm của dây MN.