Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

**a) Chứng minh BI và CK lần lượt là đường cao của tam giác ABC.**

Trước tiên, ta cần nhớ rằng tam giác ABC đều có các góc bằng nhau (mỗi góc bằng 60 độ) và các cạnh bằng nhau.

- Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC.
- Ta cần chứng minh rằng BI vuông góc với AC và CK vuông góc với AB.

**Chứng minh BI vuông góc với AC**:
- Trong tam giác ABC đều, góc A = 60 độ.
- Vì điểm I là trung điểm của AB, ta có AI = IB.
- Từ góc A, nếu vẽ đường thẳng BI, ta nhận thấy rằng BI sẽ chia góc A thành hai góc bằng nhau (mỗi góc 30 độ).
- Do đó, góc BAI = 30 độ.
- Từ đó, góc ABI = 90 độ - góc BAI = 90 độ - 30 độ = 60 độ.
- Vì vậy, góc BIC = 90 độ, suy ra BI vuông góc với AC.

**Chứng minh CK vuông góc với AB**:
- Tương tự như trên, ta có góc A = 60 độ và gốc ACB = 90 độ.
- Điểm K là trung điểm của AC nên GK = KA.
- Vẽ CK, góc AKC = 30 độ.
- Suy ra AB vuông góc với CK: góc AKC = 90 độ - góc AKC = 60 độ.
- Do đó, CK vuông góc với AB.

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng BI và CK lần lượt là đường cao của tam giác ABC.

**b) Gọi O là trung điểm của BC. So sánh OI và OK.**

Để so sánh OI và OK, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đều và trung điểm.

- Cả I và K đều là trung điểm của các cạnh, vì vậy điểm O là trung điểm của BC.
- Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác đều với các toạ độ tương ứng. Giả định A (0, 0), B (1, 0), C (0.5, √3/2).
- Tọa độ của các điểm trung điểm:
- I = ((0 + 1)/2, (0 + 0)/2) = (0.5, 0).
- K = ((0 + 0.5)/2, (0 + √3/2)/2) = (0.25, √3/4).
- O = ((1 + 0.5)/2, (0 + √3/2)/2) = (0.75, √3/4).

Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
- Độ dài OI:
\[
OI = \sqrt{(0.5 - 0.75)^2 + (0 - √3/4)^2} = \sqrt{(-0.25)^2 + (-√3/4)^2} = \sqrt{0.0625 + 0.1875} = \sqrt{0.25} = 0.5
\]

- Độ dài OK:
\[
OK = \sqrt{(0.25 - 0.75)^2 + (√3/4 - √3/4)^2} = \sqrt{(-0.5)^2 + 0} = 0.5
\]

Kết quả:
\[
OI = OK
\]

Vậy OI và OK bằng nhau.