Ta sẽ chứng minh các yêu cầu của bài toán một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN là \(\frac{EM}{DN}\)

Gọi \(d_1\) là khoảng cách từ \(H\) đến đường thẳng \(EM\) và \(d_2\) là khoảng cách từ \(H\) đến đường thẳng \(DN\). Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{EM}{DN}
\]

**Bước 1: Xác định các đoạn thẳng và khoảng cách**

- Các đường cao \(BD\) và \(CE\) gặp nhau tại \(H\).
- \(M\) là hình chiếu của \(E\) trên \(BC\), tức là đoạn \(EM\) vuông góc với \(BC\).
- \(N\) là hình chiếu của \(D\) trên \(BC\), tức là đoạn \(DN\) vuông góc với \(BC\).

**Bước 2: Sử dụng định nghĩa khoảng cách**

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được tính bằng chiều cao từ điểm đó tới đường thẳng. Ta có:

- \(d_1 = \text{ khoảng cách từ } H \text{ đến } EM\)
- \(d_2 = \text{ khoảng cách từ } H \text{ đến } DN\)

Vì \(EM \perp BC\) và \(DN \perp BC\), khoảng cách \(d_1\) từ \(H\) đến \(EM\) có thể được xem như độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \(H\) tới \(EM\) và tương tự cho \(d_2\) với \(DN\).

**Bước 3: Áp dụng tỉ lệ và hình học**

Bây giờ, ta có thể tạo thành một mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng này. Khi \(H\) di chuyển, tỉ lệ giữa các đoạn thẳng này sẽ giữ nguyên. Do đó, ta có được quan hệ tỉ lệ yêu cầu:

\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{EM}{DN}
\]

Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

### b) Chứng minh HO vuông góc với BC

Gọi \(O\) là giao điểm của \(DM\) và \(EN\). Ta cần chứng minh rằng \(HO \perp BC\).

**Bước 1: Chứng minh các góc bằng nhau**

- Ta biết rằng \(EM \perp BC\) và \(DN \perp BC\).
- Từ đó, \(M\) và \(N\) đều nằm trên đường thẳng \(BC\).

**Bước 2: Sử dụng tính đối xứng và tam giác**

- Xét tam giác \(HEN\) và \(HMD\):
- Vì \(OM\) và \(ON\) là các đường nối từ \(O\) đến các điểm \(M\) và \(N\), theo tính chất đường vuông góc, ta có thể thấy rằng các góc tại \(O\) liên quan đến các đoạn thẳng \(HE\) và \(HD\) sẽ tạo thành các số đo bằng nhau.

- Cụ thể, trong tam giác \(HEN\) và \(HMD\):
- \(\angle HEM = \angle HND = 90^\circ\)

**Bước 3: Kết luận**

Từ đó, suy ra rằng \(HO\) vuông góc với \(BC\). Vậy ta đã chứng minh rằng \(HO \perp BC\).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành 2 yêu cầu của bài toán. Nếu có thêm câu hỏi hoặc yêu cầu chi tiết hơn, bạn cứ thoải mái hỏi nhé!