Rút gọn biểu thức sau

Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{45 \cdot 9^5 + 6^9 \cdot 120}{8^4 : 3^{12} - 6^{11}}
\]

ta sẽ thực hiện từng phần:

### Bước 1: Rút gọn tử

Tính \( 9^5 \) và \( 6^9 \):
- \( 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10} \)
- \( 6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9 \)

Biểu thức tử trở thành:
\[
45 \cdot 3^{10} + 2^9 \cdot 3^9 \cdot 120
\]
Tính \( 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \), do vậy:
\[
2^9 \cdot 3^9 \cdot 120 = 2^9 \cdot 3^{10} \cdot 5
\]

Thay vào tử:
\[
= 45 \cdot 3^{10} + 2^9 \cdot 3^{10} \cdot 5
= 3^{10}(45 + 2^9 \cdot 5)
\]

Tính \( 2^9 \cdot 5 = 512 \cdot 5 = 2560 \), do đó:
\[
Tử = 3^{10}(45 + 2560) = 3^{10} \cdot 2605
\]

### Bước 2: Rút gọn mẫu

Tính \( 8^4 \):
\[
8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}
\]

Mẫu là:
\[
8^4 : 3^{12} - 6^{11}
\]
Với \( 6^{11} = 2^{11} \cdot 3^{11} \):
\[
= \frac{2^{12}}{3^{12}} - 2^{11} \cdot 3^{11}
\]

### Bước 3: Rút gọn biểu thức mẫu

Cùng quy về mẫu số chung:
\[
\frac{2^{12}}{3^{12}} - \frac{2^{11} \cdot 3^{11}}{3^{12}} = \frac{2^{12} - 2^{11} \cdot 3^{11}}{3^{12}} = \frac{2^{11}(2 - 3^{11})}{3^{12}}
\]

### Bước 4: Biểu thức cuối cùng

Biểu thức đầy đủ:
\[
\frac{3^{10} \cdot 2605}{\frac{2^{11}(2 - 3^{11})}{3^{12}}} = \frac{3^{10} \cdot 2605 \cdot 3^{12}}{2^{11}(2 - 3^{11})}
= \frac{3^{22} \cdot 2605}{2^{11}(2 - 3^{11})}
\]

Cuối cùng, biểu thức rút gọn là:
\[
\frac{3^{22} \cdot 2605}{2^{11}(2 - 3^{11})}
\]