Từ hệ phương trình đã cho, ta có:

1. \( x^2 + y^2 + 2(x + y) = 23 \)
2. \( x + y + xy = 11 \)

Khi thay \( xy = 11 - x - y \) vào phương trình thứ nhất, ta tiến hành các bước như sau:

1. Thay thế \( xy \) vào phương trình 1:
\[
(x + y)^2 - 2xy + 2(x + y) = 23
\]
Thay \( xy \) vào:
\[
(x + y)^2 - 2(11 - x - y) + 2(x+y) = 23
\]

2. Giải phương trình:
\[
(x + y)^2 + 4(x + y) - 45 = 0
\]

3. Đặt \( s = x + y \):
\[
s^2 + 4s - 45 = 0
\]
Phương trình này có dạng bậc hai, ta có thể sử dụng công thức nghiệm:
\[
s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2} = \frac{-4 \pm 14}{2}
\]

4. Tính ra nghiệm:
\[
s_1 = 5 \quad s_2 = -9
\]

5. Với \( s_1 = 5 \):
\[
x + y = 5 \quad \Rightarrow \quad xy = 11 - 5 = 6
\]

Giải phương trình bậc hai \( t^2 - st + p = 0 \):
\[
t^2 - 5t + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (t-2)(t-3) = 0 \Rightarrow x = 2, y = 3 \quad hoặc \quad x = 3, y = 2
\]

Do đó, nghiệm của hệ là \( (2, 3) \) hoặc \( (3, 2) \).

Với \( s_2 = -9 \), ta không có nghiệm hợp lệ vì tổng hai số \( x + y \) không thể âm.

Vậy các nghiệm tìm được là \( (2, 3) \) và \( (3, 2) \).