Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{2x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 1}\), ta có thể đơn giản hóa nó trước:

Biểu thức có thể được viết lại như sau:
\[
\frac{2x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 1} = \frac{2(x^2 + x + 1)}{(x+1)^2}
\]

Ta sẽ thực hiện các bước để tìm cực trị của biểu thức này. Đặt:
\[
y = \frac{2(x^2 + x + 1)}{(x+1)^2}
\]

Để tìm giá trị cực trị, ta cần tính đạo hàm của \(y\) theo \(x\) và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0. Ta sẽ sử dụng quy tắc chia đạo hàm (quotient rule).

Đạo hàm:
\[
y' = \frac{(2(x^2 + x + 1))' \cdot (x+1)^2 - 2(x^2 + x + 1) \cdot ((x+1)^2)'}{((x+1)^2)^2}
\]

Tính đạo hàm từng phần:
- \( (2(x^2 + x + 1))' = 2(2x + 1) = 4x + 2 \)
- \( ((x+1)^2)' = 2(x+1) \)

Thay vào công thức đạo hàm:
\[
y' = \frac{(4x + 2)(x+1)^2 - 2(x^2 + x + 1) \cdot 2(x + 1)}{((x+1)^2)^2}
\]

Giải phương trình \(y' = 0\) để tìm các giá trị của \(x\). Sau khi tìm được \(x\), ta sẽ xác định giá trị của \(y\) và kiểm tra xem giá trị nào là cực tiểu.

Để đơn giản hơn, ta cũng có thể tính giá trị của \(y\) tại các điểm đặc biệt, chẳng hạn như \(x = 0\) hoặc \(x = -1\) để đánh giá biểu thức này.

Ta cũng có thể sử dụng phương pháp thế số để kiểm tra:

1. Tại \(x = 0\):
\[
y(0) = \frac{2(0^2 + 0 + 1)}{(0+1)^2} = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2
\]

2. Tại \(x = -1\):
\[
y(-1) = \frac{2((-1)^2 + (-1) + 1)}{0} \text{ không xác định.}
\]

3. Tại \(x = 1\):
\[
y(1) = \frac{2(1^2 + 1 + 1)}{(1+1)^2} = \frac{2(3)}{4} = \frac{3}{2}
\]

Qua các điểm thử nghiệm trên, ta thấy rằng \(y\) đạt giá trị tối thiểu tại \(x=0\), với giá trị là \(2\). Để chắc chắn đây là giá trị nhỏ nhất, có thể sử dụng thêm phép kiểm tra đạo hàm hoặc bảng dấu.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \text{min} = 2 \).