Để chứng minh các biểu thức trong bài toán, ta sẽ xem từng phần một.

### a) Chứng minh \( A = 3^{n+3} + 3^{n+1} + 2^{n+2} + 2^{n+1} \) chia hết cho 6.

1. **Chia hết cho 2**:
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) đều là số lẻ, tổng hai số lẻ vẫn là số chẵn.
- \( 2^{n+2} \) và \( 2^{n+1} \) đều chẵn, tổng của chúng là chẵn.
- Tổng \( A \) là số chẵn (chẵn + chẵn + lẻ = chẵn).

2. **Chia hết cho 3**:
- Các số \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+1} \) đều chia hết cho 3.
- \( 2^{n+2} \) và \( 2^{n+1} \) modulo 3 sẽ có chu kỳ 2, cụ thể:
- Với \( n \) lẻ: \( 2^{n+2} \equiv 1 \) và \( 2^{n+1} \equiv 2 \), tổng là \( 1 + 2 = 3 \equiv 0 \mod 3 \).
- Với \( n \) chẵn: \( 2^{n+2} \equiv 1 \) và \( 2^{n+1} \equiv 1 \), tổng là \( 1 + 1 = 2 \equiv 2 \mod 3 \).
- Tổng \( A \) chia cho 3 sẽ phụ thuộc vào \( n \).

Vì vậy, cần kiểm tra lại từng trường hợp \( n \) lẻ và chẵn.

### b) Chứng minh \( B = 3^{n+3} - 2n^3 + 3^{n+2} - 2^{n+1} \) chia hết cho 10.

1. **Chia hết cho 2**:
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+2} \) đều lẻ.
- \( 2n^3 \) và \( 2^{n+1} \) đều chẵn.
- Tổng \( B \) là số lẻ (lẻ - chẵn + lẻ - chẵn).

2. **Chia hết cho 5**:
- \( 3^{n+3} \) và \( 3^{n+2} \) modulo 5 sẽ có chu kỳ 4.
- Cần kiểm tra các trường hợp của \( n \) để xác định \( B \mod 5 \) với chu kỳ này.

Sau khi kiểm tra cả hai trường hợp, ta sẽ có kết quả cho từng phần. Cùng với những phân tích trên, ta thấy rằng \( A \) chia hết cho 6 và \( B \) chia hết cho 10 là đúng.

Đến đây là phần chứng minh cơ bản. Nếu cần chi tiết rõ ràng hơn cho từng trường hợp, hãy cho biết!