a) Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O, ta xem xét tính chất của hình chữ nhật:

1. Hình chữ nhật ABCD có 4 cạnh đối diện bằng nhau và 4 góc vuông.
2. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O, chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau: AO = OC và BO = OD.
3. Do 4 điểm A, B, C, D nằm trên một hình chữ nhật, nên chúng có tính chất:

- Góc AOB = 90°,
- Góc BOC = 90°,
- Góc COD = 90°,
- Góc DOA = 90°.

4. Trong một đường tròn, các đỉnh của một tứ giác là một tứ giác nội tiếp nếu tổng các góc đối diện của tứ giác đó là 180°.

Tại đây, ta có:
- góc AOB + góc COD = 90° + 90° = 180°,
- góc BOC + góc DOA = 90° + 90° = 180°.

Kết luận rằng, các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O.

b) Ta biết rằng góc BAC = 30° và bán kính R = 50 cm.

Do ABCD là hình chữ nhật, ta có:

1. Góc BAC là góc giữa cạnh AB và đường chéo AC.
2. Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:

\[
\frac{AC}{AB} = \frac{\sin(BCA)}{\sin(ABC)}.
\]

Gọi chiều dài cạnh AB là \(x\) và chiều dài cạnh BC là \(y\). Ta có:

\[
AC = \sqrt{x^2 + y^2}.
\]

Trong tam giác AOB, theo định lý cosin:

\[
R^2 = AB^2 + AO^2 - 2 \cdot AB \cdot AO \cdot \cos(30°),
\]

Vì AO = \( \frac{AC}{2} \), ta thay thế vào phương trình:

\[
50^2 = x^2 + \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

Từ đây, ta có hệ phương trình từ tình huống hình chữ nhật và việc tính toán:

1. Tính đường chéo AC:

\[
AC = 2R \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2} = 50cm.
\]

2. Lúc này, từ định lý Pythagore với dự tính:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 \implies 50^2 = x^2 + y^2.
\]

Để giải cho x và y, ta cần một điều kiện khác. Xét góc BAC và tính độ dài của các cạnh ABCD từ điều kiện tương ứng.

Giả sử \( AB = x \) và \( BC = y \):

- Áp dụng tiếp trong tam giác tròn để tính x và y từ AC = 50 cm vẫn tương tự.

Cuối cùng bạn có thể giải hệ để tìm chính xác độ dài của hai cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Do tính phức tạp và yêu cầu xác định kỳ diện cụ thể hơn, mong bạn cung cấp chi tiết thêm cho lời giải cụ thể hơn nhé!