Để phân tích đa thức \((x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20\) thành nhân tử, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

1. **Mở rộng biểu thức**: Tính \((x^2 + 2x)^2\):
\[
(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2
\]
Do đó, biểu thức trở thành:
\[
x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 9x^2 + 18x + 20
\]
Kết hợp các hạng tử:
\[
x^4 + 4x^3 + (4x^2 + 9x^2) + 18x + 20 = x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 18x + 20
\]

2. **Tìm nghiệm của đa thức**: Ta sẽ thử tìm nghiệm của đa thức bậc 4 này bằng cách thử nghiệm vài giá trị nhỏ của \(x\):
- Thử \(x = -2\):
\[
(-2)^4 + 4(-2)^3 + 13(-2)^2 + 18(-2) + 20 = 16 - 32 + 52 - 36 + 20 = 20 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \(x = -1\):
\[
(-1)^4 + 4(-1)^3 + 13(-1)^2 + 18(-1) + 20 = 1 - 4 + 13 - 18 + 20 = 12 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \(x = 0\):
\[
0^4 + 4 \cdot 0^3 + 13 \cdot 0^2 + 18 \cdot 0 + 20 = 20 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \(x = 1\):
\[
1^4 + 4 \cdot 1^3 + 13 \cdot 1^2 + 18 \cdot 1 + 20 = 1 + 4 + 13 + 18 + 20 = 56 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \(x = 2\):
\[
2^4 + 4 \cdot 2^3 + 13 \cdot 2^2 + 18 \cdot 2 + 20 = 16 + 32 + 52 + 36 + 20 = 156 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]
- Thử \(x = -4\):
\[
(-4)^4 + 4(-4)^3 + 13(-4)^2 + 18(-4) + 20 = 256 - 256 + 208 - 72 + 20 = 156 \quad \text{(?)} \text{(không phải nghiệm)}
\]

3. **Thử phương pháp phân tích**: Nếu không tìm được nghiệm, ta sẽ cố gắng phân tích bằng cách nhìn vào cách tổ hợp các hạng tử.

Nhóm hợp lý và tính toán:
\[
x^4 + 4x^3 + 13x^2 + 18x + 20 = (x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 5)
\]

Từ đó, ta có thể viết lại thành:
\[
= (x^2 + 2x + 5)(x^2 + 2x) = (x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 5)
\]

Cuối cùng, ta có kết quả phân tích:
\[
(x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 5)
\]

Tuy nhiên, nếu bạn muốn phân tích thành từng yếu tố cơ bản, thì có thể dừng ở dạng này vì đây là dạng nhân tử cơ bản nhất đã có.