Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tìm bậc và hệ số tự do của đa thức \( P(x) \)

1. **Tính toán đa thức \( P(x) \):**
\[
P(x) = x^4 + 2x^3 - 9x^2 - x^4 + x
\]
- Kết hợp các hạng tử:
\[
P(x) = (x^4 - x^4) + 2x^3 - 9x^2 + x = 2x^3 - 9x^2 + x
\]

2. **Tìm bậc của \( P(x) \):**
- Bậc của \( P(x) \) là bậc cao nhất của các hạng tử, ở đây bậc cao nhất là 3 (hạng tử \( 2x^3 \)).

3. **Tìm hệ số tự do của \( P(x) \):**
- Hệ số tự do là hạng tử không chứa \( x \). Ở đây, \( P(x) \) không có hạng tử nào không chứa \( x \), do đó hệ số tự do của \( P(x) \) là 0.

Vậy:
- Bậc của \( P(x) \) là 3.
- Hệ số tự do của \( P(x) \) là 0.

### b) Tìm đa thức \( H(x) \)

1. **Tính toán \( H(x) \):**
\[
H(x) = P(x) + Q(x) - \frac{(36x^2 + 16x^4)}{(-2x^2)}
\]

Đầu tiên, tính \( Q(x) \):
\[
Q(x) = x^2 - 5x + 6
\]

Tiếp theo, thực hiện phép chia:
\[
\frac{(36x^2 + 16x^4)}{(-2x^2)} = -18 - 8x^2
\]

Các phép toán sẽ là:
\[
H(x) = (2x^3 - 9x^2 + x) + (x^2 - 5x + 6) - (-18 - 8x^2)
\]

Kết hợp lại:
\[
H(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + x^2 - 5x + 6 + 18 + 8x^2
\]

Kết hợp các hạng tử:
- Phần \( x^3 \): \( 2x^3 \)
- Phần \( x^2 \): \( -9x^2 + x^2 + 8x^2 = 0x^2 \)
- Phần \( x \): \( x - 5x = -4x \)
- Phần hằng số: \( 6 + 18 = 24 \)

Vậy:
\[
H(x) = 2x^3 - 4x + 24
\]

### Kết quả cuối cùng:
- Đa thức \( H(x) = 2x^3 - 4x + 24 \).