Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính độ dài của đường chéo BD của hình chữ nhật ABCD
Hình chữ nhật có:
- \( AB = 12 \, \text{cm} \)
- \( BC = 5 \, \text{cm} \)

Sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài BD:
\[
BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}
\]

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm
Xét tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(12, 0) \)
- \( C(12, 5) \)
- \( D(0, 5) \)

### Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng BD
Đường thẳng BD đi qua hai điểm \( B(12, 0) \) và \( D(0, 5) \):
- Độ dốc:
\[
\text{slope} = \frac{5 - 0}{0 - 12} = -\frac{5}{12}
\]
- Phương trình đường thẳng (dạng y = mx + b):
\[
y = -\frac{5}{12}x + 5
\]

### Bước 4: Tìm tọa độ H (hình chiếu của A lên BD)
Để tìm hình chiếu H, ta cần phương trình đường thẳng vuông góc với BD đi qua A. Độ dốc của đường vuông góc là \(\frac{12}{5}\). Phương trình của đường thẳng qua A:
\[
y = \frac{12}{5}x
\]

Giải hệ phương trình để tìm tọa độ H:
1. \( y = -\frac{5}{12}x + 5 \)
2. \( y = \frac{12}{5}x \)

Thay \( y \) của phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
\[
\frac{12}{5}x = -\frac{5}{12}x + 5
\]
Giải phương trình này:
\[
\frac{12}{5}x + \frac{5}{12}x = 5
\]
Tìm \( x \):
\[
\frac{144x + 25x}{60} = 5 \implies 169x = 300 \implies x = \frac{300}{169}
\]
Tìm \( y \):
\[
y = \frac{12}{5} \cdot \frac{300}{169} = \frac{720}{169}
\]

Vậy tọa độ điểm H là \(\left(\frac{300}{169}, \frac{720}{169}\right)\).

### Bước 5: Tìm điểm K (cắt CD)
Phương trình của CD là:
\[
x = 12
\]
Tìm K khi \( x = 12 \):
\[
y = -\frac{5}{12} \cdot 12 + 5 = 0
\]
Tọa độ K là \( K(12, 0) \).

### Bước 6: Tính độ dài DK
Tọa độ của D là \( D(0, 5) \) và tọa độ K là \( K(12, 0) \).

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
\[
DK = \sqrt{(12 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}
\]

Vậy độ dài DK là \( 13 \, \text{cm} \).