Để giải bài toán này về tam giác đều và các hình song song, ta sẽ tiến hành theo các cách giải dưới đây:

### a) Chứng minh AFMD, BDME, CEMF là các hình thang:

1. **Hình thang AFMD**:
- Do EM // AC nên góc AFE = góc A (góc tương ứng).
- Do DM // AB nên góc MDA = góc M (góc tương ứng).
- Do AF // MD, nên AFMD là hình thang.

2. **Hình thang BDME**:
- Do ME // AC nên góc BME = góc B (góc tương ứng).
- Do ED // BC nên góc EDB = góc E (góc tương ứng).
- Do BD // ME, nên BDME là hình thang.

3. **Hình thang CEMF**:
- Do EM // AC nên góc CEF = góc C (góc tương ứng).
- Do DM // AB nên góc MCF = góc M (góc tương ứng).
- Do CE // MF, nên CEMF là hình thang.

### b) Chứng minh DMÉ = FMÉ = DMF:

- Trong tam giác MDB, độ dài các đường song song tạo thành các tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có DM//ME và FM//DF. Suy ra các góc tương ứng là bằng nhau:
- Góc DME = góc DFM
- Góc DEM = góc EMF
- Góc MDE = góc MDF

Điều này dẫn đến sự tương đương của các tam giác trong hình. Suy ra: DMÉ = FMÉ = DMF.

### c) Điểm M phải ở vị trí nào để △DEF là tam giác đều?

Để tam giác DEF là tam giác đều, M cần được đặt tại trung điểm của đoạn thẳng AH (đường cao từ A đến BC trong tam giác đều ABC). Khi đó, các cạnh DE, EF, DF sẽ bằng nhau do tính chất của hình thang và sự đối xứng của tam giác đều.

Từ đó, tính chất của tam giác đều sẽ được giữ.