Tìm m để hàm số f(x) đồng biến trên R biết f(x) = x^3 + (m+1) x^2 +3x+2

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\mathbb{R}\), đạo hàm của hàm số đó phải không âm trên khoảng này.

### a) Tìm \(m\) để hàm số \(f(x) = x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

1. **Tính đạo hàm**:

\[
f'(x) = 3x^2 + 2(m+1)x + 3
\]

2. **Điều kiện để \(f'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)**:

Hàm bậc hai \(f'(x)\) sẽ không âm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

- **Đặc trưng là không âm**: \(a = 3 > 0\)
- **Đ discriminant phải không dương**:

\[
D = (2(m+1))^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 \leq 0
\]

Giải bất phương trình:

\[
4(m+1)^2 - 36 \leq 0
\]

\[
(m+1)^2 \leq 9
\]

\[
-3 \leq m+1 \leq 3
\]

\[
-4 \leq m \leq 2
\]

Vậy \(m\) phải thuộc khoảng \([-4, 2]\).

### b) Tìm \(m\) để hàm số \(g(x) = (x^2 - 1)x^3 + (m-1)x^2 - x + 4\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

1. **Tính đạo hàm**:

\[
g(x) = (x^2 - 1)x^3 + (m-1)x^2 - x + 4
\]

Đầu tiên, tính \(g'(x)\):

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}[(x^2-1)x^3] + \frac{d}{dx}[(m-1)x^2] - 1
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm cho tích:

\[
= (x^2-1)(3x^2) + x^3(2x) + (m-1)(2x) - 1
\]
\[
= 3x^2(x^2-1) + 2(m-1)x^3 - 1
\]

Biểu thức này sẽ trở thành:

\[
g'(x) = (3x^2 + 2(m-1)x)x^2 - 1
\]

2. **Điều kiện để \(g'(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)**:

Để \(g'(x)\) không âm với mọi \(x\), chúng ta cần điều kiện tương tự như ở câu a. Ta cũng cần tính toán điều kiện của đạo hàm mình tìm được. Phân tích \(g'(x)\) có thể trở nên phức tạp hơn, nhưng vẫn không mất đi tính chất của một hàm bậc cao, còn phần \( - 1 \) đôi khi có thể làm \(g'(x)\) nhỏ hơn 0.

Thay vào đó, ta có thể lần lượt phân tích theo các miền giá trị của \(x\) và tìm điều kiện cho \(m\) sao cho kết quả luôn lớn hơn không.

Vì đạo hàm có phức tạp hơn câu a, nên có thể khó khăn hơn trong quản lý các điều kiện cho \(m\). Lí tưởng, bạn nên tìm bậc của \(g'(x)\) và các hệ số dương hay âm khi \(x \to \pm \infty\).

Do đó, bạn có thể sử dụng hàm bậc cao này để tìm nghiệm cho \(m\) sao cho tổng quát (p và Q). Điều đó cụ thể theo điều kiện của \(g'(x)\) không âm.

Kết luận:
- \(m\) cho hàm \(f(x)\) phải ở khoảng \([-4, 2]\).
- \(m\) trong hàm \(g(x)\) yêu cầu phương pháp phân tích thêm cho giá trị của các hệ số trong \(g'(x)\).