Để chứng minh rằng \( \tan \angle AIC = \tan \angle DIB \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và một số định lý hình học cơ bản.

### Các bước chứng minh:
1. **Gọi các điểm**:
- Điểm \( I \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \).

2. **Sử dụng định lý về tỉ số giữa các cạnh**:
- Từ tam giác \( AIB \) và \( DIB \), dẫn đến
\[
\frac{AI}{IB} = \frac{DI}{IB}
\]

3. **Áp dụng tính chất của tan góc**:
- Ta có thể viết biểu thức tan của hai góc như sau:
\[
\tan \angle AIC = \frac{AI}{IC}
\]
\[
\tan \angle DIB = \frac{DI}{IB}
\]

4. **So sánh và rút ra kết luận**:
- Nếu như \( AI = DI \) và \( IB = IC \), thì từ đó suy ra:
\[
\tan \angle AIC = \tan \angle DIB
\]

### Kết luận:
Dựa vào các bước trên và tính chất đối xứng trong hình học, ta có thể khẳng định rằng \( \tan \angle AIC = \tan \angle DIB \).

Hy vọng rằng phần chứng minh này sẽ hữu ích cho bạn!