Phương trình hoành độ giao điểm của  và :

x2=2m−1x+m+1⇔x2−2m−1x−m−1=0 (1)

Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của và .

Ta có Δ'=(m−1)2−(−m−1)=m2−m+2 .

Ta có m2−m+2=m−122+74>0   với mọi giá trị của .

Suy ra Δ'>0  với mọi giá trị của .

phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi  hay  luôn cắt  tại hai điểm phân biệt.

           b) Tìm các giá trị của  để  cắt  tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2  thỏa mãn  x1+3x2−8=0.

Theo câu a), ta có  là hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet: x1+x2=2m−1=2m−2x1x2=−m−1

Kết hợp giả thiết ta có x1+x2=2m−2  (2)x1x2=−m−1      (3)x1+3x2−8=0    (4)

Từ (2) và (4), tính được x1=3m−7;  x2=−m+5

Thay vào (3), tính được  (5−m)(3m−7)=−m−1⇔3m2−23m+34=0⇔m=2m=173 .

Vậy m=2;  m=173  thỏa mãn đề bài.