Hàm số y=fx=x+mx+1  xác định và liên tục trên 0;1.

+ Với m=1  hàm số trở thành y=1⇒max0;1fx=min0;1fx=1⇒max0;1fx+min0;1fx=2

Do đó m=1  thỏa yêu cầu bài toán.

+ Với m≠1  hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên 0;1 . Ta có  f(0)=m, f(1)=m+12  

·       TH1: f0.f1≤0⇔m.m+12≤0⇔−1≤m≤0

Khi đó min0;1fx=0 và max0;1fx=m hoặc max0;1fx=m+12

Theo giả thiết ta phải có m=2m+12=2⇔m=±2m=3m=−5  (loại).

·       TH2: f0.f1>0⇔mm+12>0⇔m<−1m>0

Khi đó  max0;1f(x)=f(1); min0;1f(x)=f(0)max0;1f(x)=f(0); min0;1f(x)=f(1).

Theo giả thiết ta có: max0;1fx+min0;1fx=2⇔m+m+12=2⇔m+m+12=2−m−m+12=2⇔m=1m=−53(thoả mãn).

  Vậy với  m=1m=−53  thì điều kiện bài toán thỏa mãn.