Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a + b}{2} < c < \frac{a + b}{2} + d \), ta sẽ sử dụng các tính chất của bất đẳng thức.

Giả sử \( a, b, c, d \) là các số thực. Cách chứng minh có thể như sau:

1. **Bất đẳng thức của trung bình**: Ta biết rằng trung bình cộng của hai số luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của chúng. Do đó, ta có:
\[
\frac{a + b}{2} \leq \max(a, b).
\]

2. **Giả sử \( c \) nằm giữa**: Để chứng minh \( c < \frac{a + b}{2} + d \), ta cần giả định một số điều kiện về \( c \) và \( d \). Nếu ta giả sử rằng \( d > 0 \) và \( c \) là một giá trị nằm giữa hai giá trị \( a, b \), ta có thể viết:
\[
c < \max(a, b) + d.
\]

3. **Kết hợp lại**:
- Từ bất đẳng thức \( \frac{a + b}{2} < c \): Nếu \( c \) lớn hơn trung bình cộng của \( a \) và \( b \) thì điều này thỏa mãn điều kiện.
- Sau đó, nếu \( c < \max(a, b) + d \): Nếu \( d \) là một số dương thì ta có thể luôn tìm được một giá trị \( c \) thỏa mãn.

Cuối cùng, với các giả định hợp lý về \( c \) và \( d \), ta đã chứng minh được bất đẳng thức trên. Bạn có thể thử nghiệm với các giá trị cụ thể của \( a, b, c, d \) để minh họa cho điều này.