Cho điểm D nằm trong tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều BDE, CDF (E, D, F nằm cùng phía đối với BC). Biết rằng tứ giác AEDF là hình bình hành

Để chứng minh các đẳng thức và tính chất như trong đề bài đã nêu, ta lần lượt giải quyết từng phần.

### Phần a:
Ta sẽ chứng minh rằng \( \angle BDC = \angle BEA \) và tam giác \( BDC \cong BEA \).

1. **Góc:**
- Vì \( AEDF \) là hình bình hành nên ta có:
\[
\angle AED = \angle ADF \quad \text{và} \quad \angle ADE = \angle AEF.
\]
- Với tam giác đều \( BDE \), ta biết rằng \( \angle BDE = 60° \).
- Và với tam giác đều \( CDF \), ta cũng có \( \angle CDF = 60° \).
- Bây giờ, xem xét góc \( \angle BDC \):
\[
\angle BDC = \angle BDE + \angle EDC,
\]
trong đó \( \angle EDC = 60° \) (do tính chất của tam giác đều).

- Từ đó, ta có:
\[
\angle BDC = 60° + (180° - (60° + \angle AED)).
\]
- Tương tự cho \( \angle BEA \):
\[
\angle BEA = \angle BDE + \angle DEA = 60° + (180° - (60° + \angle AED)).
\]
- Do đó, ta có \( \angle BDC = \angle BEA \).

2. **Tam giác:**
- Để chứng minh \( \triangle BDC \cong \triangle BEA \), ta kiểm tra:
- \( BD = BE \) (cạnh chung của tam giác đều)
- \( CD = EA \) (cạnh tương ứng của hình bình hành)
- \( \angle BDC = \angle BEA \) (đã chứng minh ở trên)
- Từ đó, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (Cạnh-góc-cạnh - CGC), ta có:
\[
\triangle BDC \cong \triangle BEA.
\]

### Phần b:
Chứng minh rằng tam giác \( ABC \) là tam giác đều.

1. Gọi \( \angle A = \angle ABC, \angle B = \angle ACB \).
2. Thật vậy từ chứng minh trong phần a, ta cũng thấy rằng \( \angle BDC = 60° \) và \( \angle BEA = 60° \).
3. Từ tính chất của hình bình hành và cặp góc đối bằng nhau:
- Ta có:
\[
\angle A = \angle B + \angle C = \angle ABC + \angle ACB.
\]
- Nhờ vào điều kiện \( \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180° \), và với \( \angle BAC = 60° \) (vì \( \angle BDC = 60° \) và \( \angle BEA = 60° \)), cho nên:
\[
\angle ABC = \angle ACB = 60°.
\]
4. Từ đó có thể chỉ ra rằng:
\[
\triangle ABC là tam giác đều.
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng:

- \( \angle BDC = \angle BEA \) và \( \triangle BDC \cong \triangle BEA \).
- Tam giác \( ABC \) là tam giác đều.