Điền số thích hợp vào chỗ trống. Tìm số tự nhiên n biết

Để giải bài toán \( 12^{30} : 216^{n+1} = 8^{10} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi các số thành cơ số nguyên tố:**
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 216 = 6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3 \)
- \( 8 = 2^3 \)

2. **Viết lại các số theo lũy thừa:**
- \( 12^{30} = (2^2 \times 3^1)^{30} = 2^{60} \times 3^{30} \)
- \( 216^{n+1} = (2^3 \times 3^3)^{n+1} = 2^{3(n+1)} \times 3^{3(n+1)} \)
- \( 8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30} \)

3. **Thay vào phương trình:**
\[
2^{60} \times 3^{30} : (2^{3(n+1)} \times 3^{3(n+1)}) = 2^{30}
\]

4. **Chuyển đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo:**
\[
2^{60} \times 3^{30} \times (2^{3(n+1)} \times 3^{3(n+1)})^{-1} = 2^{30}
\]
Hay viết lại:
\[
2^{60} \times 3^{30} \times 2^{-3(n+1)} \times 3^{-3(n+1)} = 2^{30}
\]
Từ đó ta có:
\[
2^{60 - 3(n+1)} \times 3^{30 - 3(n+1)} = 2^{30}
\]

5. **So sánh các lũy thừa:**
- Đối với cơ số 2: \( 60 - 3(n+1) = 30 \)
- Đối với cơ số 3: \( 30 - 3(n+1) = 0 \)

6. **Giải các phương trình:**
- Từ phương trình \( 60 - 3(n+1) = 30 \):
\[
60 - 3n - 3 = 30 \implies 57 - 3n = 30 \implies 27 = 3n \implies n = 9
\]

- Từ phương trình \( 30 - 3(n+1) = 0 \):
\[
30 - 3n - 3 = 0 \implies 27 = 3n \implies n = 9
\]

7. **Kết luận:**
Số tự nhiên \( n \) thỏa mãn là:
\[
n = 9
\]

Vậy trả lời là \( n = 9 \).