Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x - 3y = 2

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \( 5x - 3y = 2 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm tổng quát cho các phương trình đồng dạng.

Phương trình có dạng \( Ax + By = C \) với \( A = 5 \), \( B = -3 \) và \( C = 2 \).

Đầu tiên, chúng ta cần tìm một nghiệm nào đó của phương trình này. Chúng ta có thể thử với các giá trị của \( x \) để tìm \( y \) hoặc ngược lại.

1. Giả sử \( x = 1 \):
\[
5(1) - 3y = 2 \implies 5 - 3y = 2 \implies -3y = -3 \implies y = 1
\]
Vậy một nghiệm nguyên là \( (x, y) = (1, 1) \).

Để tìm các nghiệm khác của phương trình, chúng ta sử dụng công thức nghiệm tổng quát cho các phương trình bậc nhất đồng dạng. Nếu \( (x_0, y_0) \) là một nghiệm nhất định, thì mọi nghiệm của phương trình sẽ được biểu diễn dưới dạng:
\[
x = x_0 + \frac{B}{\gcd(A, B)} t
\]
\[
y = y_0 - \frac{A}{\gcd(A, B)} t
\]
với \( t \) là số nguyên tự do và \( \gcd(A, B) \) là ước số chung lớn nhất của \( A \) và \( B \).

Tính:
- \( \gcd(5, -3) = 1 \)
- \( A = 5 \), \( B = -3 \)

Do đó ta có:
\[
x = 1 + (-3) t = 1 - 3t
\]
\[
y = 1 - 5t
\]

Vậy nghiệm nguyên tổng quát của phương trình \( 5x - 3y = 2 \) là:
\[
(x, y) = (1 - 3t, 1 - 5t) \quad (t \in \mathbb{Z})
\]
Chúng ta có thể chọn các giá trị khác nhau của \( t \) để tìm ra các nghiệm nguyên khác nhau.