Để giải bài toán, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học liên quan đến tam giác vuông.

1. **Tính chiều dài các cạnh của tam giác**:
- Trong tam giác vuông ABC tại A, với AB = 10 cm là cạnh huyền và đường cao AH = 5 cm. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]

Với \( AC \) là cạnh đối diện góc vuông (cạnh AC) và \( BC \) là cạnh kề với góc vuông (cạnh BC).

2. **Áp dụng công thức tính diện tích tam giác**:
Diện tích \( S \) của tam giác ABC vuông tại A có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]

3. **Tính diện tích**:
Thay số vào công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \times 10 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = \frac{1}{2} \times 50 \, \text{cm}^2 = 25 \, \text{cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác ABC là \( 25 \, \text{cm}^2 \).

4. **Tính góc**:
Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có thể tính các góc bằng cách sử dụng định lý Pythagore hoặc công thức tan:

Góc A sẽ là \( 90^{\circ} \).

Sử dụng định nghĩa tan của các góc, ta có:
- \( \tan(B) = \frac{AC}{AB} \)
- \( \tan(C) = \frac{BC}{AB} \)

Đối với chiều cao AH:
\[
\text{tan}(B) = \frac{AH}{HB}
\]
Trong đó AH = 5 và AB = 10 nên HB = AB - AH = 10 - 5 = 5.

Do đó, ta tính góc B:
\[
\tan(B) = \frac{5}{5} = 1 \implies B = 45^{\circ}
\]

Vì tổng ba góc trong một tam giác là \( 180^{\circ} \), góc C sẽ là:
\[
C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}
\]

5. **Kết quả**:
- Diện tích tam giác ABC: \( 25 \, \text{cm}^2 \)
- Các góc của tam giác:
- \( \angle A = 90^{\circ} \)
- \( \angle B = 45^{\circ} \)
- \( \angle C = 45^{\circ} \)

Tóm lại:
- Diện tích = \( 25 \, \text{cm}^2 \)
- Góc A = \( 90^{\circ} \), góc B = \( 45^{\circ} \), góc C = \( 45^{\circ} \).