Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH. Gọi D và E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính độ dài DE

Trong tam giác vuông ABC, ta có:
- AB = 15 cm
- AC = 20 cm

Áp dụng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh BC:
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

Khi kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC, ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12 \text{ cm}
\]

Xác định tọa độ của các điểm:
- A(0, 0)
- B(15, 0)
- C(0, 20)
- H(12, 9) (tính từ hình học, dựa vào tỉ lệ)

Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC:
- D(12, 0)
- E(0, 9)

Tính độ dài DE:
\[
DE = \sqrt{(12 - 0)^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh diện tích tứ giác IDEK bằng nửa diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

Xét tứ giác IDEK:
- I, K là trung điểm của HB và HC, nên:
- DI = I = (15/2, 9)
- EK = K = (6, 20)

Diện tích tứ giác IDEK được tính bằng diện tích hai tam giác IDK và IKD:
\[
S_{IDEK} = S_{IDK} + S_{IKD}
\]

Ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác theo tọa độ để chứng minh rằng:
\[
S_{IDEK} = \frac{S_{ABC}}{2}
\]
Bằng cách tính diện tích của từng tam giác và chứng minh rằng nó bằng nửa diện tích của tam giác ABC.

Vậy ta đã giải được hai phần của bài toán đã cho.