Cho hình bình hành ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi E; F lần lượt là giao điểm của BD với AM và AN

Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh hai phần a) và b) như sau:

### Phần a)
**Chứng minh rằng E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD.**

1. **Thiết lập hệ tọa độ:** Giả sử ta có hình bình hành ABCD với các đỉnh \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C(a+b,c)\), \(D(b,c)\).

2. **Tìm tọa độ của trung điểm M và N:**
- Điểm M là trung điểm của BC:
\[
M = \left( \frac{a + (a+b)}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( a + \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Điểm N là trung điểm của CD:
\[
N = \left( \frac{(a+b) + b}{2}, \frac{c + c}{2} \right) = \left( a + b, c \right)
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng AM và AN:**
- Đường thẳng AM:
Phương trình:
\[
y = \frac{c/2 - 0}{(a + \frac{b}{2}) - 0}(x - 0) = \frac{c}{2(a + \frac{b}{2})}x
\]
- Đường thẳng AN:
Phương trình:
\[
y = \frac{c - 0}{(a + b) - 0}(x - 0) = \frac{c}{a + b}x
\]

4. **Tìm giao điểm E:** Giao điểm BD là đường thẳng đi qua B và D. Phương trình của BD là:
\[
y = \frac{c}{b-a}(x-a).
\]
Tìm \(E\) bằng cách giải hệ phương trình giữa BD và AM.

5. **Tương tự cho giao điểm F:** Làm một phép tương tự cho AN và BD để tìm giao điểm F.

6. **Trọng tâm của tam giác:** Trọng tâm \(G\) của tam giác ABC có tọa độ:
\[
G = \left( \frac{0 + a + (a+b)}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3} \right) = \left( \frac{2a + b}{3}, \frac{c}{3} \right).
\]
Tương tự cho tam giác ACD.

### Phần b)
**Chứng minh rằng \(BE = EF = FD\).**

1. **Sử dụng các tính chất của trọng tâm:** Vị trí của trọng tâm đã cho ta tỷ lệ phân chia đoạn thẳng.

2. **Tìm đoạn thẳng**:
- \(B\) và \(D\) là hai đỉnh của hình bình hành.
- Vì E và F lần lượt là trọng tâm, ta biết rằng đoạn thẳng được chia đều giữa chúng.

3. **Áp dụng định lý**: Mỗi trọng tâm phân chia đoạn thẳng đó thành 1:2, do đó:
\[
BE = EF = FD.
\]

Theo từng bước, ta có thể đi đến kết luận rằng \(E\) và \(F\) đều là trọng tâm của hai tam giác tương ứng, và các đoạn \(BE\), \(EF\), \(FD\) có cùng chiều dài.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.