Tìm giá trị x nguyên để C nguyên

Để giải bài toán, ta cần phân tích biểu thức \( C = \frac{2x + 12}{\sqrt{x}} \).

### a) Tìm giới hạn của x để \( C > 3 \):
Đặt bất phương trình:
\[
\frac{2x + 12}{\sqrt{x}} > 3
\]
Nhân cả hai vế với \( \sqrt{x} \) (vì \( \sqrt{x} > 0 \)), ta có:
\[
2x + 12 > 3\sqrt{x}
\]
Biến đổi thành:
\[
2x - 3\sqrt{x} + 12 > 0
\]
Đặt \( t = \sqrt{x} \) thì \( x = t^2 \), và bất phương trình trở thành:
\[
2t^2 - 3t + 12 > 0
\]
Xét phương trình bậc hai \( 2t^2 - 3t + 12 = 0 \). Tính delta:
\[
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 9 - 96 = -87
\]
Từ đó, phương trình này không có nghiệm thực, điều này có nghĩa là \( 2t^2 - 3t + 12 > 0 \) cho mọi \( t \).

Do đó, bất phương trình \( C > 3 \) luôn đúng với điều kiện \( x > 0 \).

### b) Tìm x nguyên để \( C \) nguyên:
Ta biết rằng \( C \) là một số nguyên nếu \( \frac{2x + 12}{\sqrt{x}} \) là một số nguyên.

Gọi \( \sqrt{x} = k \) với \( k \) nguyên, thì \( x = k^2 \), và ta xét:
\[
C = \frac{2k^2 + 12}{k} = 2k + \frac{12}{k}
\]
Để \( C \) là số nguyên, \( \frac{12}{k} \) phải là số nguyên, tức là \( k \) phải là một số nguyên dương và là ước của 12.

Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Vậy, giá trị của \( k \) có thể là:
- \( k = 1 \) thì \( x = 1^2 = 1 \) và \( C = 14 \)
- \( k = 2 \) thì \( x = 2^2 = 4 \) và \( C = 12 \)
- \( k = 3 \) thì \( x = 3^2 = 9 \) và \( C = 10 \)
- \( k = 4 \) thì \( x = 4^2 = 16 \) và \( C = 10 \)
- \( k = 6 \) thì \( x = 6^2 = 36 \) và \( C = 18 \)
- \( k = 12 \) thì \( x = 12^2 = 144 \) và \( C = 30 \)

### Kết luận:
Các giá trị nguyên của \( x \) để \( C \) nguyên là:
- \( x = 1 \)
- \( x = 4 \)
- \( x = 9 \)
- \( x = 16 \)
- \( x = 36 \)
- \( x = 144 \)