Để tìm giá trị của số tự nhiên \( a \) sao cho biểu thức

\[
\frac{5a - 17}{4a - 23}
\]

có giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ xét hàm số và các giới hạn của nó.

1. **Xác định điều kiện xác định**:
Hàm số sẽ không xác định khi mẫu \( 4a - 23 = 0 \) hay \( a = \frac{23}{4} \). Do \( a \) là số tự nhiên, và \( \frac{23}{4} = 5.75 \), ta chỉ cần xem xét các giá trị \( a \geq 6 \).

2. **Tính giá trị cho các giá trị \( a \)**:
- Khi \( a = 6 \):
\[
\frac{5(6) - 17}{4(6) - 23} = \frac{30 - 17}{24 - 23} = \frac{13}{1} = 13
\]
- Khi \( a = 7 \):
\[
\frac{5(7) - 17}{4(7) - 23} = \frac{35 - 17}{28 - 23} = \frac{18}{5} = 3.6
\]
- Khi \( a = 8 \):
\[
\frac{5(8) - 17}{4(8) - 23} = \frac{40 - 17}{32 - 23} = \frac{23}{9} \approx 2.56
\]
- Khi \( a = 9 \):
\[
\frac{5(9) - 17}{4(9) - 23} = \frac{45 - 17}{36 - 23} = \frac{28}{13} \approx 2.15
\]

3. **Kết quả**:
Từ các tính toán trên, ta nhận thấy rằng khi \( a = 6 \), biểu thức đạt giá trị lớn nhất là \( 13 \).

Vậy giá trị của số tự nhiên \( a \) để biểu thức đạt giá trị lớn nhất là \( \boxed{6} \).