Tìm m để phương trình \(x^3 - 2(m+1)x + m^2 - 7 = 0\) có 2 nghiệm \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1 = 9x_2\)

Để giải bài toán tìm \(m\) trong phương trình

\[
x^3 - 2(m+1)x + m^2 - 7 = 0
\]

có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thoả mãn \(x_1 = 9x_2\), đầu tiên ta có thể đặt \(x_2 = x\), do đó \(x_1 = 9x\).

Khi đó, ta có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) đều là nghiệm của phương trình, dẫn đến:

\[
x^3 - 2(m+1)(9x) + m^2 - 7 = 0
\]
\[
x^3 - 2(m+1)x + m^2 - 7 = 0
\]

Giả thiết có dạng \(x^3 - 2(m+1)x + m^2 - 7 = 0\) nên có tổng hợp nghiệm sau:

Sử dụng định lý Viete đối với phương trình bậc ba này, ta có:

1. Tổng ba nghiệm \(x_1 + x_2 + x_3 = 0\), với \(x_1 = 9x\) và \(x_2 = x\), ta có \(9x + x + x_3 = 0\) suy ra \(x_3 = -11x\).

2. Tính tổng các cặp tích hai nghiệm: \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -2(m+1)\)
\[
9x^2 - 9x^2 - 11x^2 = -2(m+1) \implies -11x^2 = -2(m+1).
\]

Vậy ta có:
\[
11x^2 = 2(m+1) \implies m+1 = \frac{11}{2}x^2 \implies m = \frac{11}{2}x^2 - 1.
\]

3. Tính tích ba nghiệm \(x_1 x_2 x_3 = - (m^2 - 7)\):
\[
9x^2 \cdot x \cdot (-11x) = -11 \cdot 9x^3 = -99x^3 = - (m^2 - 7).
\]

Vậy ta có:
\[
99x^3 = m^2 - 7.
\]

Kết hợp hai điều kiện trên để tìm được giá trị của \(m\).

Thay \(m = \frac{11}{2}x^2 - 1\) vào phương trình \(99x^3 = m^2 - 7\):

\[
99x^3 = \left(\frac{11}{2}x^2 - 1\right)^2 - 7.
\]

Giải phương trình này sẽ cho ra các giá trị của \(x\) và từ đó ta tính được \(m\).

Tóm lại, bạn có thể giải phương trình trên để tìm ra giá trị của \(m\) cụ thể với các bước tính toán chi tiết hơn.