Để giải bài toán này, ta sẽ đặt thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất là \( x \) (giờ) và của người thứ hai là \( y \) (giờ). Theo đề bài, có hai thông tin quan trọng:

1. Hai người cùng làm chung thì hoàn thành công việc sau 6 giờ.
2. Người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai 5 giờ, tức là \( x = y - 5 \).

Từ thông tin thứ hai, ta có thể thay thế \( x \) vào công thức tính công việc. Công suất làm việc của mỗi người sẽ là:
- Công suất của người thứ nhất: \( \frac{1}{x} \)
- Công suất của người thứ hai: \( \frac{1}{y} \)

Khi hai người cùng làm việc, công suất tổng hợp của họ là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}
\]
Vì họ hoàn thành công việc trong 6 giờ nên ta có:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]

Bây giờ, thay thế \( x = y - 5 \) vào phương trình trên:
\[
\frac{1}{y - 5} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]
Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế với \( 6y(y - 5) \) để loại bỏ mẫu số:
\[
6y \cdot 6 + 6(y - 5) = y(y - 5)
\]

Giải phương trình:
\[
6y + 6(y - 5) = y^2 - 5y
\]
\[
6y + 6y - 30 = y^2 - 5y
\]
\[
12y - 30 = y^2 - 5y
\]
\[
0 = y^2 - 17y + 30
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:
\[
y = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}
\]
\[
y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}
\]
\[
y = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2}
\]
\[
y = \frac{17 \pm 13}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:
\[
y_1 = \frac{30}{2} = 15
\]
\[
y_2 = \frac{4}{2} = 2
\]

Vì \( y \) đại diện cho thời gian làm việc, nên ta lựa chọn \( y = 15 \) (vì nếu \( y = 2 \) thì \( x \) sẽ âm, không hợp lý). Như vậy:
\[
x = y - 5 = 15 - 5 = 10
\]

Vậy thời gian mỗi người cần để hoàn thành công việc khi làm riêng là:
- Người thứ nhất: 10 giờ
- Người thứ hai: 15 giờ

Kết quả cuối cùng là:
- Người thứ nhất cần 10 giờ.
- Người thứ hai cần 15 giờ.