Để tìm số cách chia 48 học sinh thành các nhóm có từ 6 đến 12 học sinh, chúng ta sẽ tìm các số nguyên dương \( n \) thỏa mãn điều kiện sau:

\[ n \cdot k = 48 \]

Trong đó \( n \) là số học sinh trong mỗi nhóm và \( k \) là số nhóm. Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( n \) trong khoảng từ 6 đến 12 và tìm \( k \).

1. **\( n = 6 \)**:
\[
k = \frac{48}{6} = 8
\]

2. **\( n = 7 \)**:
\[
k = \frac{48}{7} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

3. **\( n = 8 \)**:
\[
k = \frac{48}{8} = 6
\]

4. **\( n = 9 \)**:
\[
k = \frac{48}{9} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

5. **\( n = 10 \)**:
\[
k = \frac{48}{10} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

6. **\( n = 11 \)**:
\[
k = \frac{48}{11} \quad \text{(không phải là số nguyên)}
\]

7. **\( n = 12 \)**:
\[
k = \frac{48}{12} = 4
\]

Tóm lại, các giá trị hợp lệ cho \( n \) là 6, 8 và 12 với số nhóm tương ứng là 8, 6 và 4.

Bây giờ, chúng ta tìm số cách chia nhóm cho từng trường hợp:

1. **Với \( n = 6, k = 8 \)**:
Số cách chia 48 học sinh thành 8 nhóm 6 học sinh là:
\[
\frac{48!}{(6!)^8 \cdot 8!}
\]

2. **Với \( n = 8, k = 6 \)**:
Số cách chia 48 học sinh thành 6 nhóm 8 học sinh là:
\[
\frac{48!}{(8!)^6 \cdot 6!}
\]

3. **Với \( n = 12, k = 4 \)**:
Số cách chia 48 học sinh thành 4 nhóm 12 học sinh là:
\[
\frac{48!}{(12!)^4 \cdot 4!}
\]

Cuối cùng, tổng số cách chia là tổng của 3 trường hợp này.

Do đó, số cách chia nhóm cho các tình huống vừa nêu có thể được tính như sau:
\[
S = \frac{48!}{(6!)^8 \cdot 8!} + \frac{48!}{(8!)^6 \cdot 6!} + \frac{48!}{(12!)^4 \cdot 4!}
\]

Bạn cần sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tính chính xác giá trị của các biểu thức này, vì chúng là số rất lớn.