Để tìm số tự nhiên \( a \) lớn nhất sao cho \( 44, 86, 65 \) chia cho \( a \) đều dư \( 2 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Giảm bớt 2 cho mỗi số**:
- \( 44 - 2 = 42 \)
- \( 86 - 2 = 84 \)
- \( 65 - 2 = 63 \)

2. **Tìm ước chung lớn nhất (UCLN)** của \( 42, 84, 63 \):
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
- \( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)
- \( 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \)
- \( 63 = 3^2 \times 7 \)

- Tìm UCLN:
- UCLN = \( 3 \times 7 = 21 \)

3. **Kết quả**:
- Do đó, số lớn nhất \( a \) mà \( 44, 86, 65 \) đều dư 2 khi chia cho \( a \) là \( a = 21 \).