Để giải phương trình \(|x^2 - 3| + 10 = 38 - 2 |x^2 - 3|\), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đưa các hạng tử lại với nhau**:
\[
|x^2 - 3| + 2|x^2 - 3| = 38 - 10
\]
\[
3|x^2 - 3| = 28
\]
\[
|x^2 - 3| = \frac{28}{3}
\]

2. **Giải phương trình dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối**:
a. \(x^2 - 3 = \frac{28}{3}\)
b. \(x^2 - 3 = -\frac{28}{3}\)

**Giải phương trình thứ nhất**:
\[
x^2 - 3 = \frac{28}{3}
\]
\[
x^2 = \frac{28}{3} + 3 = \frac{28}{3} + \frac{9}{3} = \frac{37}{3}
\]
\[
x = \pm \sqrt{\frac{37}{3}} = \pm \frac{\sqrt{111}}{3}
\]

**Giải phương trình thứ hai**:
\[
x^2 - 3 = -\frac{28}{3}
\]
\[
x^2 = -\frac{28}{3} + 3 = -\frac{28}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{19}{3}
\]
Phương trình này không có nghiệm thực vì giá trị bên phải âm.

3. **Kết luận**:
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \pm \frac{\sqrt{111}}{3}
\]