Để chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình thoi, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai đường chéo \(EG\) và \(FH\) bằng nhau, và chúng cắt nhau tại trung điểm của cả hai.

Gọi \(E\), \(F\), \(G\), và \(H\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(AC\), \(CD\) và \(BD\).

**Bước 1: Tính toán tọa độ:**

Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(b_1, b_2)\)
- \(D(d_1, d_2)\)

Từ đó ta có:
- Tọa độ điểm \(E\) (trung điểm \(AB\)):
\[
E\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]

- Tọa độ điểm \(F\) (trung điểm \(AC\)):
\[
F\left(\frac{0+b_1}{2}, \frac{0+b_2}{2}\right) = \left(\frac{b_1}{2}, \frac{b_2}{2}\right)
\]

- Tọa độ điểm \(G\) (trung điểm \(CD\)):
\[
G\left(\frac{b_1+d_1}{2}, \frac{b_2+d_2}{2}\right)
\]

- Tọa độ điểm \(H\) (trung điểm \(BD\)):
\[
H\left(\frac{a+d_1}{2}, \frac{0+d_2}{2}\right)
\]

**Bước 2: Tính toán vector:**

- Vector \(EG\):
\[
EG = G - E = \left(\frac{b_1+d_1}{2} - \frac{a}{2}, \frac{b_2+d_2}{2} - 0\right) = \left(\frac{b_1 + d_1 - a}{2}, \frac{b_2 + d_2}{2}\right)
\]

- Vector \(FH\):
\[
FH = H - F = \left(\frac{a+d_1}{2} - \frac{b_1}{2}, \frac{0+d_2}{2} - \frac{b_2}{2}\right) = \left(\frac{a + d_1 - b_1}{2}, \frac{d_2 - b_2}{2}\right)
\]

**Bước 3: Tính độ dài các đường chéo:**

Để kiểm tra xem tứ giác \(EFGH\) có phải là hình thoi hay không, chúng ta cần chứng minh rằng:
- \(EG \parallel FH\) (độ dốc bằng nhau)
- \(EG = FH\)

**Bước 4: Chứng minh đường chéo cắt nhau tại trung điểm:**

Rõ ràng từ định nghĩa trung điểm, cả \(EG\) và \(FH\) cắt nhau tại trung điểm của \(EFGH\).

**Bước 5: Kiểm tra điều kiện hình thoi:**

Ta cần xem xét theo tính chất:
- \(EG \parallel FH\)
- \(EG = FH\)

Nếu điều kiện này thỏa mãn, tứ giác \(EFGH\) sẽ là hình thoi. Ở đây, vì \(AC = BD\) (theo giả thiết bài toán), từ đó tứ giác \(E, F, G, H\) được hình thành theo quy luật đối xứng về trung điểm, do các đường chéo này chia đôi các cạnh thành các đoạn bằng nhau.

Kết luận, \(EFGH\) là hình thoi.