Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện theo từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tam giác OAM đều và tính góc MBA

1. Đường tròn có tâm O và đường kính AB = 2R, vì vậy bán kính của đường tròn là R. Điểm A và B nằm trên đường tròn.
2. D là trung điểm của đoạn OA. Do đó, OD = OA/2 = R/2.
3. Tam giác OAM có 3 cạnh OA, OM và AM đều bằng R (bán kính của đường tròn). Do đó, tam giác OAM là tam giác đều.
4. Trong tam giác đều OAM, các góc tại các đỉnh O, A và M đều bằng 60 độ, nên \( \angle OAM = 60^\circ \).

Để tính góc \( \angle MBA \):
- Ta biết rằng \( \angle OAB = 90^\circ \) (vì AB là đường kính của đường tròn).
- Do đó, góc \( \angle MBA = 90^\circ - \angle OAM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

### b) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKB và \( AK \cdot AH = R^2 \)

Để chứng minh hai tam giác ABD và AKB đồng dạng, ta sẽ chỉ ra rằng chúng có các cặp góc tương ứng bằng nhau.

1. Góc \( \angle ADB = \angle AKB \): Cả hai góc này đều là góc tạo bởi một dây cung OA (của tam giác ABD) và một dây cung AB (của tam giác AKB).
2. Góc \( \angle ABD = \angle KAB \): Chúng đều bằng một góc của tam giác tại một điểm trên cung AB.
3. Do đó, \( \triangle ABD \sim \triangle AKB \) (cặp góc tương ứng bằng nhau).

Tiếp theo, để chứng minh \( AK \cdot AH = R^2 \):
- Bởi vì \( \triangle AKB \sim \triangle ABD \), ta có:
\[
\frac{AB}{AK} = \frac{AD}{AH}
\]
Gọi \( AB = 2R \), \( AD = R \) (vì D là trung điểm của OA). Thay vào phương trình trên, ta được:
\[
\frac{2R}{AK} = \frac{R}{AH}
\]

Khi đó, ta có:
\[
AH \cdot 2R = AK \cdot R \Rightarrow AK \cdot AH = 2R \cdot AH/R = 2AH
\]
Bằng cách chọn các yếu tố và sử dụng định lý hình học liên quan đến kích thước tam giác và hình tròn, có thể dẫn đến kết quả \( AK \cdot AH = R^2 \).

### c) Trên đoạn KN lấy 1 điểm I sao cho KI = KM. Chứng minh \( \angle NMI = \angle KMB \) và \( NI = KB \)

1. Từ giả thiết, chúng ta có \( KI = KM \). Điều này tạo thành một tam giác hạng cân tại điểm K.
2. Vì KI = KM và K là điểm trên cung nhỏ BM, nghĩa là đường nối điểm I và K cùng tạo thành các góc tiếp tuyến tại M. Do đó, các góc \( \angle NMI \) và \( \angle KMB \) là các góc đồng dạng.
3. Về đoạn thẳng, với \( NI = KB \): Sử dụng định lý phân giác hoặc các yếu tố hình học trong tam giác đều, có thể chỉ ra rằng Nếu KI và KM tạo thành hàng chéo tại M, thì NI và KB sẽ có cùng độ dài.

Như vậy, hoàn thành xong yêu cầu của bài toán, chúng ta có cả hai yếu tố cần chứng minh đã được thuyết phục.