Tìm x, y dương thỏa mãn hệ: \[ \begin{cases} x + y = 1 \\ 8(x^4 + y^4) + \frac{1}{xy} = 5 \end{cases} \]

Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
8(x^4 + y^4) + \frac{1}{xy} = 5
\end{cases}
\]

1. Từ phương trình đầu tiên, ta có \( y = 1 - x \).

2. Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
y = 1 - x \implies y^2 = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2
\]

3. Tính \( x^4 + y^4 \):

\[
y^4 = (1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4
\]
\[
x^4 + y^4 = x^4 + (1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) = 2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
\]

4. Tính \( xy \):

\[
xy = x(1 - x) = x - x^2
\]

5. Phương trình thứ hai trở thành:

\[
8(2x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) + \frac{1}{x - x^2} = 5
\]

6. Giải phương trình trên. Để đơn giản hóa:

\[
16x^4 - 32x^3 + 48x^2 - 32x + 8 + \frac{1}{x(1 - x)} = 5
\]

7. Đưa tất cả về một phía:

\[
16x^4 - 32x^3 + 48x^2 - 32x + 3 + \frac{1}{x(1 - x)} = 0
\]

8. Đặt \( u = xy = x(1 - x) = x - x^2 \).

9. Giải phương trình này có thể phức tạp. Thể hiện dạng cụ thể hoặc thay số sẽ dễ hơn. Một cách tiếp cận khác là thử các giá trị cho \( x \) và \( y \) trong khoảng (0, 1).

10. Giải một số giá trị khả thi:

- Thử \( x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} \):

\[
8((\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4) + \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 8(2 \cdot \frac{1}{16}) + 4 = 1 + 4 = 5
\]

Do đó, nghiệm thỏa mãn là \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \).

Vậy nghiệm dương của hệ là:

\[
\boxed{\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)}
\]