Để giải phương trình \( 3 \cdot 4^x + 1 - 112 = 5 \cdot 2^{2x} \), trước tiên ta sẽ đơn giản hóa biểu thức.

Bắt đầu từ phương trình:

\[
3 \cdot 4^x + 1 - 112 = 5 \cdot 2^{2x}
\]

Ta cộng \( 112 \) vào cả hai vế:

\[
3 \cdot 4^x + 1 - 112 + 112 = 5 \cdot 2^{2x} + 112
\]

\[
3 \cdot 4^x + 1 = 5 \cdot 2^{2x} + 112
\]

Bây giờ, ta biết rằng \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \), vì vậy có thể thay thế \( 4^x \) bằng \( 2^{2x} \):

\[
3 \cdot 2^{2x} + 1 = 5 \cdot 2^{2x} + 112
\]

Bây giờ, ta sẽ làm cho các số hạng chứa \( 2^{2x} \) về cùng một phía:

\[
3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^{2x} + 1 = 112
\]

\[
-2 \cdot 2^{2x} + 1 = 112
\]

Chuyển \( 1 \) sang bên phải:

\[
-2 \cdot 2^{2x} = 112 - 1
\]

\[
-2 \cdot 2^{2x} = 111
\]

Chia cả hai vế cho -2:

\[
2^{2x} = -\frac{111}{2}
\]

Kết quả này không hợp lệ vì \( 2^{2x} \) không bao giờ âm. Do đó, phương trình này sẽ không có nghiệm thực.

Tóm lại, không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn phương trình đã cho.