Tìm số nghiệm của phương trình x^3 + 3x + 1 = 2^x

Để tìm số nghiệm của phương trình

\[
x^3 + 3x + 1 = 2^x,
\]

ta đưa phương trình về dạng:

\[
f(x) = x^3 + 3x + 1 - 2^x = 0,
\]

với \( f(x) \) là một hàm số liên tục.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của \( f(x) \):

\[
f'(x) = 3x^2 + 3 - 2^x \ln(2).
\]

### Bước 2: Xác định tính chất của hàm số

Hàm số \( f(x) \) là một đa thức bậc 3 trừ đi hàm mũ, nên để phân tích, ta sẽ tính giá trị của hàm số ở một số điểm cụ thể.

### Bước 3: Tính giá trị tại một số điểm

- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 + 1 - 2^0 = 1 - 1 = 0.
\]

- Tại \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 + 1 - 2^1 = 1 + 3 + 1 - 2 = 3 \quad (\text{dương}).
\]

- Tại \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1) + 1 - 2^{-1} = -1 - 3 + 1 - \frac{1}{2} = -3.5 \quad (\text{âm}).
\]

### Bước 4: Phân tích dấu

Tại \( x = -1\), \( f(x) < 0 \) và tại \( x = 0\), \( f(x) = 0 \). Vì hàm \( f(x) \) là liên tục, từ định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất 1 nghiệm trong khoảng \((-1, 0)\).

Tại \( x = 1\), \( f(x) > 0 \) và \( f(0) = 0 \). Do đó, còn một nghiệm khác trong khoảng \( (0, 1) \).

### Bước 5: Đánh giá tại các giá trị cao hơn

- Tại \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 + 1 - 2^2 = 8 + 6 + 1 - 4 = 11 \quad (\text{dương}).
\]

Vậy \( f(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = 0 \), và dương khi \( x = 2 \). Ta cần xét tiếp về tính đồng biến của \( f(x) \).

### Bước 6: Tính tính chất đồng biến

Hàm \( 2^x \) tăng nhanh hơn một đa thức bậc 3 nên sẽ có một điểm mà \( f(x) \) sẽ trở nên âm trở lại, tìm hiểu sâu hơn:

Muốn tìm cực trị của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3x^2 + 3 - 2^x \ln(2) = 0
\]

Nơi \( 2^x \ln(2) \) là hàm số tăng nhanh hơn nên \( f'(x) = 0 \) chỉ có một nghiệm. Điều này có nghĩa là \( f(x) \) có một cực trị và sẽ chuyển từ dương về âm, vậy nó chỉ có 3 nghiệm.

### Kết luận

Phương trình

\[
x^3 + 3x + 1 = 2^x
\]

có **3 nghiệm**.