Để chứng minh rằng

\[
(xy + 1)(x^2y^2 - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3
\]

đúng với mọi \(x, y\), ta sẽ giải từng phần một.

### Bước 1: Tính toán biểu thức bên trái

1. **Tính \((xy + 1)(x^2y^2 - xy + 1)\)**:

Phát triển biểu thức:
\[
(xy + 1)(x^2y^2 - xy + 1) = xy(x^2y^2) - xy(xy) + xy + x^2y^2 + 1
\]

Tiến hành tính toán:
\[
= x^3y^3 - x^2y^2 + xy + x^2y^2 + 1 = x^3y^3 + xy + 1
\]

2. **Tính \((x^3 - 1)(1 - y^3)\)**:

Phát triển biểu thức:
\[
(x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3(1 - y^3) - (1 - y^3) = x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3
\]

### Bước 2: Cộng biểu thức lại

Giờ ta sẽ cộng hai phần đã tính toán:
\[
x^3y^3 + xy + 1 + (x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3)
\]

Kết quả là:
\[
= x^3y^3 + xy + 1 + x^3 - x^3y^3 - 1 + y^3 = x^3 + y^3 + xy
\]

### Bước 3: Kết luận

Sau khi tính toán, ta thấy rằng biểu thức bên trái bằng biểu thức bên phải:
\[
x^3 + y^3 = x^3 + y^3
\]

Vậy nên, ta đã chứng minh rằng với mọi \(x, y\), ta có:
\[
(xy + 1)(x^2y^2 - xy + 1) + (x^3 - 1)(1 - y^3) = x^3 + y^3
\]

**Kết thúc chứng minh.**