Để chứng minh rằng tam giác \( AMD \) cân và \( CA \) là tia phân giác của \( HCK \), ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( AMD \) cân

1. **Đặt các ký hiệu**:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng qua \( C \) vuông góc với \( MD \) và \( BD \).
- \( D \) là điểm trên đường thẳng \( BD \).

2. **Tính chất tam giác cân**:
- Ta có \( MA = MB \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AB \)).
- \( CE \) vuông góc với \( MD \) cho thấy rằng \( MD \) là đường thắng đối diện với cạnh \( AM \).

- Xét góc tại \( A \) và \( D \):
- Ta có \( AE \perp MD \) và \( ME = MD \) (tính chất của hình vuông).
- Do đó, \( \angle AMD = \angle AEM \).

3. **Kết luận**:
- Từ hai yếu tố: \( MA = MB \) và \( \angle AMD = \angle AEM \), ta suy ra rằng tam giác \( AMD \) cân (có 2 cạnh bằng nhau và 2 góc đối diện).

### b) Chứng minh \( CH = CK \)

1. **Xét tam giác \( HCK \)**:
- Biết rằng \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), \( CH = CK \) có nghĩa là \( C \) nằm trên đường thẳng nối \( H \) và \( K \).
- \( CA \) là tia phân giác, tức là nó chia góc \( HCK \) thành hai góc bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất của tia phân giác**:
- Theo định lý tia phân giác, chúng ta có \( \frac{CH}{CK} = \frac{AH}{AK} \).

3. **Kết luận**:
- Vì \( CA \) là tia phân giác và \( M \) là trung điểm của \( AB \), ta kết luận rằng \( CH = CK \).

**Tóm lại**, ta đã chứng minh được rằng:
- Tam giác \( AMD \) là tam giác cân.
- \( CA \) là tia phân giác của \( HCK \).
- \( CH = CK \).