Để chứng minh BHCK là hình bình hành trong tam giác ABC nhọn với các đường cao BD, CE cắt nhau tại H, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu của bài toán:

### a) Chứng minh BHCK là hình bình hành
- Để chứng minh BHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Từ định nghĩa tam giác, ta biết rằng:
- BH là đường vuông góc với AC (do BD là đường cao).
- CK là đường vuông góc với AB (do CE là đường cao).
- Vậy, BH // CK và BH = CK.
- Do đó, BHCK là hình thang. Để là hình bình hành, ta cần chứng minh thêm rằng các cạnh bên BK và HC cũng bằng nhau.
- Vì BK là vuông góc với AB và CK là vuông góc với AC, nên BK // AC và HC // AB. Do đó, ta kết luận BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh BK vuông góc AB và CK vuông góc AC
- Do định nghĩa của đường cao trong tam giác, đường cao BD cắt AC tại H và đường cao CE cắt AB tại H.
- Theo đó, BK vuông góc với AB (vì BK là đường cao từ B đến AC) và CK vuông góc với AC (vì CK là đường cao từ C đến AB).
- Ta có:
- \( BK \perp AB \)
- \( CK \perp AC \)

### c) Chứng minh tam giác MEF cân
- Khi K nằm trên MH và MH = MK, c là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có:
- ME = MF (do trọng tâm chia đoạn BC theo tỉ lệ 2:1)
- Do đó, tam giác MEF là tam giác cân tại E.

### d) Vẽ CQ vuông góc BK tại Q và chứng minh EF // EQ
- Vẽ đường thẳng CQ vuông góc với BK tại Q. Theo tính chất của đường vuông góc, ta có:
- BK là đường thẳng đã cho còn CQ vuông góc là đoạn vuông góc từ Q đến đường thẳng BK.
- Từ đầu bài, ta đã biết:
- EF // BK (do BK đi qua H và EF đi qua K).
- Vậy, EF // EQ.

Tóm lại, các chứng minh đã hoàn thành:
- BHCK là hình bình hành.
- BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC.
- Tam giác MEF cân.
- EF // EQ.

Hy vọng giải thích rõ ràng, bạn có thể áp dụng khi làm bài tập.