Để chứng minh rằng không có các số thực \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 10 = 0
\]

Chúng ta sẽ biến đổi phương trình này.

Trước tiên, nhóm các hạng tử theo \( x \):

\[
x^2 - 2xy + 2x + 2y^2 - 6y + 10 = 0
\]

Có thể viết lại phần liên quan đến \( x \):

\[
(x^2 - 2xy + 2x) + (2y^2 - 6y + 10) = 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét phần đầu tiên \( x^2 - 2xy + 2x \). Đây là một phương trình bậc 2 theo \( x \):

\[
x^2 - 2xy + 2x
\]

Phương trình này có thể được viết lại thành dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương:

\[
= (x - (y-1))^2 + (2 - (y-1)^2)
\]

Cụ thể:

\[
= (x - (y-1))^2 + (2 - (y^2 - 2y + 1)) = (x - (y-1))^2 + (1 - y^2 + 2y)
\]

Vậy ta có:

\[
(x - (y-1))^2 + (1 - y^2 + 2y) + 2y^2 - 6y + 10 = 0
\]

Tương tự, ta có:

\[
1 - y^2 + 2y + 2y^2 - 6y + 10 = 1 + y^2 - 4y + 10 = 11 + (y-2)^2
\]

Vậy toàn bộ phương trình giờ đây trở thành:

\[
(x - (y-1))^2 + (y - 2)^2 + 11 = 0
\]

Do cả \( (x - (y-1))^2 \) và \( (y - 2)^2 \) và số thêm là 11 đều không âm, tổng không thể bằng 0 trừ khi mọi thành phần đều bằng 0. Tuy nhiên, điều này dẫn đến:

\[
(x - (y-1))^2 = 0 \quad \text{và} \quad (y - 2)^2 = 0
\]

Nghĩa là:

\[
x - (y-1) = 0 \quad \Rightarrow x = y - 1
\]

\[
y - 2 = 0 \quad \Rightarrow y = 2
\]

Từ \( y = 2 \), thay vào phương trình:

\[
x = 2 - 1 = 1
\]

Tuy nhiên, thay giá trị \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào phương trình ban đầu sẽ cho ra:

\[
1^2 + 2(2^2) - 2(1)(2) + 2(1) - 6(2) + 10 = 1 + 8 - 4 + 2 - 12 + 10 = 5 \neq 0
\]

Từ đây, chúng ta thấy không có cặp \( (x, y) \) nào thỏa mãn phương trình đã cho.

Vì vậy, kết luận rằng không có các số thực \( x \) và \( y \) nào thỏa mãn phương trình:

\[
x^2 + 2y^2 - 2xy + 2x - 6y + 10 = 0.
\]