Để giải hệ phương trình \( \frac{1}{x} - 1 + \frac{2}{y} = 3 \), trước tiên ta sẽ biến đổi phương trình này.

Bắt đầu từ phương trình:

\[
\frac{1}{x} - 1 + \frac{2}{y} = 3
\]

Ta có thể viết lại như sau:

\[
\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4
\]

Nhân cả hai vế với \( xy \) (với điều kiện \( x, y \neq 0 \)):

\[
y + 2x = 4xy
\]

Sắp xếp lại:

\[
4xy - 2x - y = 0
\]

Điều này có thể được coi là một phương trình bậc hai theo \( y \).

Khi viết dưới dạng chuẩn của phương trình bậc hai, ta có:

\[
y - 4xy + 2x = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{2x}{4x - 1}
\]

Để \( y \) là một số nguyên (tức là \( y \in \mathbb{Z} \)), điều kiện là \( 4x - 1 \) phải chia hết cho \( 2x \). Ta cần kiểm tra khi nào điều này xảy ra.

Giải thích cho các giá trị thực tế của \( x \) và \( y \):
- Từ công thức trên, thấy rằng để \( y \) là một số nguyên, \( 4x - 1 \) phải chia hết cho \( 2x \), tức là \( 4x - 1 \equiv 0 \mod{2x} \).

Giả sử \( 4x - 1 = k(2x) \) (với \( k \) là một số nguyên), ta có:

\[
4x - 1 = 2kx \implies 4x - 2kx = 1 \implies x(4 - 2k) = 1
\]

Như vậy, \( x \) chỉ có thể nhận giá trị là \( \pm 1 \). Ta sẽ kiểm tra các trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \( x = 1 \)

\[
1(4 - 2k) = 1 \implies 4 - 2k = 1 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

2. **Trường hợp 2**: \( x = -1 \)

\[
-1(4 - 2k) = 1 \implies 4 - 2k = -1 \implies 2k = 5 \implies k = \frac{5}{2} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

Từ kết quả trên, không có nghiệm nguyên cho \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

Bây giờ, hãy thử một số giá trị nguyên cho \( x \):

- Nếu \( x = 1 \):

\[
\frac{1}{1} + \frac{2}{y} = 4 \implies 1 + \frac{2}{y} = 4 \implies \frac{2}{y} = 3 \implies y = \frac{2}{3} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

- Nếu \( x = 2 \):

\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{y} = 4 \implies \frac{2}{y} = \frac{7}{2} \implies y = \frac{4}{7} \quad \text{(không phải nguyên)}
\]

Tiếp tục kiểm tra với nhiều giá trị, nhưng không có giá trị nào cho \( x \) và \( y \) là số nguyên thỏa mãn nghiệm trong khoảng tìm kiếm đã thử (và có thể tiếp tục đến giá trị lớn hơn).

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng phương trình này có thể không có nghiệm nguyên, nhưng để chắc chắn màn hình có thể thử tính toán nhiều hơn hoặc sử dụng máy tính để tìm kiếm các nghiệm trong khoảng rộng hơn.

Nếu bạn có các phép thử cụ thể hoặc cách gợi ý nào mà bạn muốn thử, hãy cho tôi biết!