Để thực hiện phép tính:

\[
S = \frac{5}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{5}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{5}{18 \cdot 19 \cdot 20}
\]

Chúng ta có thể thấy rằng mỗi phần tử trong tổng có dạng:

\[
\frac{5}{n(n+1)(n+2)}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phân tích phân thức để rút gọn dạng này. Áp dụng phương pháp phân tích phân thức, ta có:

\[
\frac{5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}
\]

Sau khi tìm hệ số \(A\), \(B\), và \(C\), chúng ta sẽ có:

\[
5 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1)
\]

Để tìm \(A\), \(B\), và \(C\), chúng ta sẽ chọn các giá trị của \(n\) sao cho ta có được các phương trình. Một cách nhanh chóng, ta có thể tìm nhân tử phân thức từ công thức toán học hoặc phân tích.

Khi thực hiện đầy đủ, ta tìm được:

\[
\frac{5}{n(n+1)(n+2)} = \frac{5}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)
\]

Vì thế, tổng S trở thành:

\[
S = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^{18} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)
\]

Giờ ta tính từng phần trong tổng này:

1. Phần \( \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n} \)
2. Phần \( -2 \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n+1} = -2 \sum_{n=2}^{19} \frac{1}{n} \)
3. Phần \( \sum_{n=1}^{18} \frac{1}{n+2} = \sum_{n=3}^{20} \frac{1}{n} \)

Sắp xếp lại, ta có:

\[
S = \frac{5}{2} \left( H_{18} - 2H_{19} + H_{20} \right)
\]

Trong đó \(H_n\) là số học hàm điều hòa (harmonic number).

Tính toán cuối cùng:

\[
= \frac{5}{2} \left( H_{18} - 2H_{19} + H_{20} \right) = \frac{5}{2} \left( H_{18} - 2(H_{18} + \frac{1}{19}) + (H_{18} + \frac{1}{19} + \frac{1}{20}) \right)
\]
\[
= \frac{5}{2} \left( H_{18} - 2H_{18} - \frac{2}{19} + H_{18} + \frac{1}{19} + \frac{1}{20} \right)
\]
\[
= \frac{5}{2} \left( -\frac{1}{19} + \frac{1}{20} \right)
\]
\[
= \frac{5}{2} \left( \frac{-20 + 19}{380} \right) = \frac{5}{2} \left( \frac{-1}{380} \right) = \frac{-5}{760}
\]

Vậy tổng \(S\) là:

\[
S = \frac{-5}{760}
\]

Tuy nhiên, các giá trị có thể trở nên phức tạp khi tổng dồn lại để rút gọn, và các số hạng này cần tính toán kỹ càng thì có thể cho ra kết quả chính xác.