Để tìm đa thức \( P(x) \) thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta sẽ phân tích từng điều kiện.

1. **Phương trình**: \( P(a) \cdot P(b) = P(a + b) + P(a - b) \) với mọi \( a, b \in \mathbb{Z} \).

2. **Điều kiện**: \( P(0) \neq 0 \) và \( P(1) = 3 \).

Bắt đầu với tính chất đầu tiên, ta thử một đa thức đơn giản. Giả sử \( P(x) = x + c \).

- Áp dụng công thức, ta có:
- \( P(a) = a + c \)
- \( P(b) = b + c \)
- \( P(a + b) = (a + b) + c \)
- \( P(a - b) = (a - b) + c \)

Thay vào phương trình:
\[
(a+c)(b+c) = (a+b+c) + (a-b+c)
\]
Phát triển các bên:
\[
ab + ac + bc + c^2 = 2a + c + ab + ac + bc
\]
Rút gọn:
\[
c^2 = 2a + c
\]
Để phương trình này đúng với mọi \( a \), thì \( c \) phải bằng 0.

Do đó, thử nghiệm với \( P(x) = x + k \):

- Kiểm tra với điều kiện: \( P(1) = 1 + k = 3 \) ⇒ \( k = 2 \).

Như vậy, \( P(x) = x + 2 \).

Bây giờ, kiểm tra với \( P(0) \):
- \( P(0) = 0 + 2 = 2 \) (khác 0).

Cuối cùng, tính \( P(5) \):
\[
P(5) = 5 + 2 = 7
\]

Vậy, giá trị \( P(5) \) là **7**.

Chú ý: Trong trường hợp bạn cần kiểm tra các giá trị cung cấp, nếu có một sự nhầm lẫn trong các phương án đã cho, vui lòng xác minh lại bối cảnh của các giá trị này.