Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), các đường cao AD; BM; CN của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Để chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác ACN, chúng ta sử dụng các góc vuông và góc chung.

- Gọi \( \angle ABM = \alpha \) và \( \angle ACN = \beta \).
- Vì AD, BM và CN là các đường cao, nên chúng ta có:
- \( \angle ABM = \angle ACB \) (góc cạnh đối với đường cao BM)
- \( \angle ACN = \angle ABC \) (góc cạnh đối với đường cao CN)

Do đó, ta có:

\[
\alpha = \angle ACB = \angle ACN
\]
\[
\beta = \angle ABC = \angle ABM
\]

Vì \( \angle ABM + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \), đồng thời \( \angle ACN + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ \).

Từ đó, theo công thức tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\triangle ABM \sim \triangle ACN
\]

Vậy từ tỷ lệ các cạnh của hai tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
\]

Chuyển đổi, ta có:

\[
AM \cdot AC = AN \cdot AB
\]

Đây là điều cần chứng minh.

b) Để chứng minh rằng KL // DM và K, L, R thẳng hàng, chúng ta thực hiện như sau:

- Ta có \( K \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( N \) đến \( aC \), nghĩa là \( NK \perp aC \).
- Ta cũng có \( L \) là chân đường vuông góc kẻ từ \( N \) đến \( AD \), nghĩa là \( NL \perp AD \).
- Do đó, \( NK \) và \( NL \) vuông góc với hai đường thẳng song song \( aC \) và \( DM \).

Để chứng minh KL // DM, ta cần tính đến điều kiện:

- Nếu \( K, L, R \) là 3 điểm thẳng hàng thì có nghĩa là các đoạn thẳng nối chúng sẽ không cắt nhau.

Vì \( K \) và \( L \) đều thuộc cùng một mặt phẳng do tuyến tính họ và đường vuông góc, nên ta có thể suy ra rằng:

1. \( KL \) // \( DM \).
2. \( K, L, R \) thẳng hàng vì \( K, L \) đều nằm trên một đường thẳng vuông góc với \( DM \), và \( R \) là điểm mà các đường thẳng vuông góc giao nhau.

Từ hai điều trên, ta khẳng định rằng KL // DM và K, L, R thẳng hàng.

Qua các bước trên, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu a) và b).