Để chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng MN, ta bắt đầu với các giả thiết đã cho:

- Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
- OM = ON.

Đầu tiên, vì ba điểm thẳng hàng, ta có thể đặt các điểm này trên một trục số với vị trí cụ thể. Giả sử:

- O có tọa độ 0 (O là gốc tọa độ).
- OM = ON = d (với d là một độ dài dương).

Khi đó, ta có thể xác định tọa độ của M và N như sau:

- M có tọa độ \(-d\) (bên trái O).
- N có tọa độ \(d\) (bên phải O).

Vì vậy, tọa độ các điểm là:

- M = \(-d\)
- O = \(0\)
- N = \(d\)

Bây giờ, để chứng minh O là trung điểm của MN, ta tính trung điểm của đoạn thẳng MN:

\[
\text{Trung điểm} = \frac{M + N}{2} = \frac{-d + d}{2} = \frac{0}{2} = 0.
\]

Như vậy, tọa độ của trung điểm MN là \(0\), tức là tọa độ của O. Điều này chứng tỏ O chính là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Do đó, từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng O là trung điểm của MN. Chứng minh đã xong!