Một vật dao động điều hòa có phương trình \( x = 5\cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \) cm

Để giải bài tập này, ta cần phân tích phương trình dao động điều hòa đã cho.

### a. Thiết lập phương trình vận tốc của vật

Phương trình dao động điều hòa được cho là:

\[
x(t) = 5 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \, \text{cm}
\]

Để tìm phương trình vận tốc \(v(t)\), ta lấy đạo hàm của \(x(t)\) theo thời gian \(t\):

\[
v(t) = \frac{dx}{dt} = -5 \cdot 4\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = -20\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \, \text{cm/s}
\]

### b. Xác định vận tốc của vật khi vật đi qua vị trí cân bằng (VTCB) theo chiều âm

Vật dao động qua vị trí cân bằng (VTCB) khi \(x(t) = 0\). Để tìm thời gian mà vật đi qua VTCB, ta giải phương trình:

\[
5 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{3}) = 0
\]

Điều này xảy ra khi:

\[
4\pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải phương trình trên:

\[
4\pi t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + k\pi
\]
\[
4\pi t = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + k\pi = \frac{\pi}{6} + k\pi
\]
\[
t = \frac{1}{24} + \frac{k}{4} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Dựa trên các giá trị của \(k\), ta tìm thời điểm tiếp theo mà vật đi qua VTCB theo chiều âm. Khi đi qua VTCB lần đầu (k=0):

\[
t = \frac{1}{24} = 0.04167 \, \text{s}
\]

Lần tiếp theo là cho \(k=1\):

\[
t = \frac{1}{24} + \frac{1}{4} = \frac{1}{24} + \frac{6}{24} = \frac{7}{24} = 0.29167 \, \text{s}
\]

Vận tốc khi qua VTCB, xuất phát từ phương trình vận tốc:

\[
v(t) = -20\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3})
\]

Tại \(t = 0.04167 \, \text{s}\):

\[
v(0.04167) = -20\pi \sin\left(4\pi \cdot \frac{1}{24} + \frac{\pi}{3}\right)
\]
\[
= -20\pi \sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = -20\pi \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -20\pi \, \text{cm/s}
\]

Vận tốc có dấu âm, xác định vật đang đi theo chiều âm.

### c. Xác định vận tốc tại thời điểm ban đầu và thời điểm 1.5s

1. **Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\):**

\[
v(0) = -20\pi \sin\left(4\pi \cdot 0 + \frac{\pi}{3}\right) = -20\pi \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -20\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3}\pi \, \text{cm/s}
\]

2. **Tại thời điểm \(t = 1.5\) s:**

\[
v(1.5) = -20\pi \sin\left(4\pi \cdot 1.5 + \frac{\pi}{3}\right) = -20\pi \sin(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -20\pi \sin(\frac{\pi}{3}) = -20\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3}\pi \, \text{cm/s}
\]

### Kết luận

- Phương trình vận tốc: \[v(t) = -20\pi \sin(4\pi t + \frac{\pi}{3}) \, \text{cm/s}\]
- Vận tốc khi qua VTCB (chiều âm): \(-20\pi \, \text{cm/s}\)
- Vận tốc ban đầu: \(-10\sqrt{3}\pi \, \text{cm/s}\)
- Vận tốc tại \(t = 1.5\) s: \(-10\sqrt{3}\pi \, \text{cm/s}\)