Để chứng minh tứ giác AGCE là hình bình hành, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm và tính chất**: Theo giả thiết, ta có tam giác ABC với hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại trọng tâm G. N là trung điểm của đoạn AB, và E là điểm sao cho N là trung điểm của đoạn EG.

2. **Sử dụng tính chất của trọng tâm**: Trọng tâm G của tam giác phân chia mỗi đường trung tuyến theo tỷ lệ 2:1. Do đó, ta có:
\[
AG = \frac{2}{3} AM \quad \text{và} \quad BG = \frac{2}{3} BN.
\]

3. **Tính vị trí của các điểm**:
- Lấy tọa độ các điểm theo hệ tọa độ. Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(c_x, c_y) \)
- Tọa độ của N (trung điểm AB) sẽ là:
\[
N\left(\frac{b}{2}, 0\right).
\]
- Tọa độ của G (trọng tâm) sẽ là:
\[
G\left(\frac{0 + b + c_x}{3}, \frac{0 + 0 + c_y}{3}\right) = \left(\frac{b + c_x}{3}, \frac{c_y}{3}\right).
\]

4. **Gọi tọa độ E**: Do N là trung điểm của EG, nên nếu E có tọa độ \( E(x_E, y_E) \), thì:
\[
N = \left(\frac{x_E + \frac{b}{2}}{2}, \frac{y_E + 0}{2}\right).
\]
Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[
\frac{x_E + \frac{b}{2}}{2} = \frac{b}{2} \quad \Rightarrow \quad x_E = \frac{b}{2},
\]
\[
\frac{y_E}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y_E = 0.
\]
Vậy E có tọa độ \( E\left(\frac{b}{2}, 0\right) \).

5. **Tính chất của tứ giác AGCE**: Ta cần chứng minh AG || CE và AE || GC.
- **AG || CE**:
- AG là một đoạn thẳng từ A đến G.
- CE là đoạn thẳng từ C đến E. Vì E trùng với N, nên CE sẽ song song với AM.

- **AE || GC**:
- AE là từ A đến E (trùng với đường thẳng ngang).
- GC là từ G đến C.

6. **Kết luận**: Tứ giác AGCE có hai cặp cạnh đối diện song song. Từ đó, ta kết luận rằng tứ giác AGCE là hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh thành công rằng tứ giác AGCE là hình bình hành.