Để tìm số nguyên \( n \) sao cho biểu thức \( \frac{n^2 + 5}{n + 2} \) là một số nguyên, ta sẽ xem xét điều kiện để mẫu \( n + 2 \) chia hết cho tử \( n^2 + 5 \).

Ta có thể bắt đầu bằng cách thực hiện phép chia đa thức:

1. Chia \( n^2 + 5 \) cho \( n + 2 \):
\[
n^2 + 5 = (n + 2)(n - 2) + 9
\]
Kết quả của phép chia này cho ta:
\[
\frac{n^2 + 5}{n + 2} = n - 2 + \frac{9}{n + 2}
\]

2. Để biểu thức \( \frac{n^2 + 5}{n + 2} \) là một số nguyên, thì \( \frac{9}{n + 2} \) cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( n + 2 \) phải là một ước của \( 9 \).

3. Các ước của \( 9 \) là \( \pm 1, \pm 3, \pm 9 \). Từ đó, ta có các giá trị của \( n + 2 \):
- \( n + 2 = 1 \) \( \Rightarrow n = -1 \)
- \( n + 2 = -1 \) \( \Rightarrow n = -3 \)
- \( n + 2 = 3 \) \( \Rightarrow n = 1 \)
- \( n + 2 = -3 \) \( \Rightarrow n = -5 \)
- \( n + 2 = 9 \) \( \Rightarrow n = 7 \)
- \( n + 2 = -9 \) \( \Rightarrow n = -11 \)

4. Kết quả: Các giá trị của \( n \) sao cho \( \frac{n^2 + 5}{n + 2} \) là một số nguyên là:
\[
n = -1, -3, 1, -5, 7, -11
\]

Bạn có thể kiểm tra từng giá trị để xác nhận rằng chúng đều tạo ra một giá trị nguyên cho biểu thức ban đầu.