Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Vẽ hình**: Vẽ hình vuông ABCD với AB = BC = CD = DA = 6 cm. Đặt:
- A (0, 0)
- B (6, 0)
- C (6, 6)
- D (0, 6)

2. **Xác định điểm I**: Điểm I nằm trên tia đối của tia AD. Tia AD kéo dài ra ngoài D, do đó:
- I có tọa độ (0, -2).

3. **Xác định phương trình đường thẳng IC**: Đoạn thẳng IC nối điểm I (0, -2) và C (6, 6). Tính hệ số góc:
\[
k = \frac{y_C - y_I}{x_C - x_I} = \frac{6 - (-2)}{6 - 0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]
Phương trình đường thẳng IC sẽ có dạng:
\[
y + 2 = \frac{4}{3}(x - 0) \implies y = \frac{4}{3}x - 2
\]

4. **Xác định phương trình đường thẳng AB**: Đường thẳng AB nằm trên trục hoành, có phương trình:
\[
y = 0
\]

5. **Tìm điểm K**: Để tìm điểm K, ta thay \(y = 0\) vào phương trình IC:
\[
0 = \frac{4}{3}x - 2 \implies \frac{4}{3}x = 2 \implies x = \frac{2 \cdot 3}{4} = \frac{3}{2}
\]
Vậy K có tọa độ \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\).

6. **Tính độ dài IK**:
\[
IK = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}
\]

7. **Tính độ dài IC**:
\[
IC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

### Kết quả:
- Độ dài IK = 2.5 cm
- Độ dài IC = 10 cm